Вопросы по сочетаниям в комбинаторике

    • Karakulya
      Karakulya
      Бронза
      На форуме с: 09.02.2013 Сообщения: 5
      Доброго времени суток всем.
      Некоторое время назад решил разобраться с составлением формул по сочетаниям для вычисления вероятностей.
      В интернете они представлены поверхностно, хорошо если не только результаты.
      Так что в голове созрели нескладушки, эта статья помогла лишь немного:
      Вероятности в Техасском Холдеме.

      Несколько примеров, неправильные формулы выделены голубым. Писал сам, могут быть ошибки :D

      1. У нас имеется две непарные карты. Мы хотим получить на флопе одну карту, совпадающую с одной из карманных, и две других, несовпадающих с карманными и друг с другом.



      2. У нас имеется карманная пара. Мы хотим получить на флопе фулл хаус ТОЛЬКО ТАКОЙ: одну карту того же наименования, как и карманные, из двух оставшихся в колоде и две других одинаковых.



      3. Вероятность с карманной парой получить на флопе ТОЛЬКО сет, исключая каре и фулл хаус.





      Непонятна логика составления формул, почему неправильные формулы неправильные)
      Понятно, что как-то связано с подмножествами...
      В книжках по комбинаторике и интернете не нашел:(
  • 17 ответов
    • Drak1422
      Drak1422
      Бронза
      На форуме с: 02.04.2016 Сообщения: 702
      Ну, допустим, по первой формуле...

      Начнём с того, что в условии было: прочие 2 карты борда не должны совпадать НИ с одной из карманных карт. Стало быть уже ты должен вторым множителем брать не 12, а 11. У тебя АК, Борд АХХ. Исключаем из 13 достоинств И тузов И королей, так?
      Далее, ты выбрал сразу 2 других достоинства через С (12;2), а потом по 1 из каких-то групп из 4-х карт. И взяв сразу два искуственно ограничил число вариантов перебора ровно в 2 раза.

      Если цель — понять логику, то тут беда, объясняльщик из меня чаще хреновый))
      Общая суть в разнице между одновременностью связанных событий или последовательностью. Генераторы, кладущие карты на борд, работают последовательно, что и отражено в формулах: сначала ты выбрал 1 из 3-х, затем вычел из общего числа все 8 ненужных карт (52-8=44), сделал выбор из них, вычел оставшиеся по условию несовпадения, и выбрал ещё одну из оставшихся 40.
      Почему генераторы работают последовательно? Потому что положив первой на флоп трефовую даму они СТРОГО ОБЯЗАНЫ исключить её из перебора для выбора следующей карты.
      В твоей же формуле ты одновременно выбираешь 2 достоинства, а число их возможных выпадений в 2 раза меньше, чем последовательных.

      Для простоты, снизим числа до монеток. Три монетки. Никаких орлов и решек. Два выбора, последовательных, сначала берешь одну, затем вторую:
      Ты выбираешь первую из 3-х, это С (3;1), затем из оставшихся 2-х ещё одну — С (2;1). Всего 6 вариантов. Проверяем перебором: ты взял первую, затем 2-ю; 1 и 3; 2 и 3, 2 и 1; 3 и 1; 3 и 2. Заметь, порядок здесь учтен, взяв первую — ты уже не можешь взять её второй раз и довольствуешь выбором из оставшихся двух. Как при выпадении второй на флоп бубновой тройки, третьей она уже не выйдет.
      При одновременном взятии двух у тебя 3 варианта вместо 6-ти: 1 и 2; 1 и 3; 2 и 3. Или С (3;2). И ты не сможешь сказать, какая из них взята первой/второй. Потому что они взяты одновременно.

      Для покера нам часто не важен порядок, говоря о бордах и стартовых руках, поэтому флопов 22100 - ровно в 6 раз меньше истинного значения. И стартовых рук тоже 52*51/2 вместо 52*51. Да и вероятность выпадения АК7 такая же как у К7А.

      НО, это общая вероятность выпадения группы, а внутри этой группы из 3-х карт вероятность выпадения каждой последующей выше.
      Поэтому вероятность доехать кармашками в сет считается последовательно: 2/50, потом 2/49, а затем 2/48. Правда с вероятностями там другая песня, и свои сложности, но описываемый принцип такой же. Или же выпадение кармашки АА в руку будет считаться последовательно: 4/52*3/51.

      Поэтому, верная формула выглядит так: С (3;1)*С (11;1)*С (4;1)*С (10;1)*С (4;1)/19600 или 3*44*40/19600. Как и в оригинале.

      Остальные формулы не смотрел, думаю, это уже существенное замечание, позволяющее исправить тонну ошибок в дальнейшем.
      Коротко: делай всё по порядку. Порядок важен там, где предыдущее действие меняет вероятность последующего.
      И нарисуй на листе бумаги прямоугольник 13*4 клеток, чтоб зачеркивать учтеное или исключенное по условию задачи.
    • Nik1952
      Nik1952
      Модератор
      Модератор
      На форуме с: 15.06.2009 Сообщения: 4.259
      Хотелось бы видеть вопросы по одному. Не надо их накидывать пачками. Полезно в одном досконально разобраться сперва.
      Поэтому начнем с 1.
      У нас две карты , допустим А и К. В колоде осталось 6 тузов и королей.
      Значит имеем 6 вариантов. Давай теперь выберем ранги 2-х оставшихся карт. Рангов 11.
      Поэтому С(2,11) = 55 способов. Имеем по 4 карты каждого ранга. Всего способов 6*55*4*4 = 5280. Вероятность = 5280/19600 = 26.94%
      Разберись в рассуждениях выше, спроси, если не понятно что-то. Если все понятно, то попробуй написать аналогично про 2.
    • CatalystKh
      CatalystKh
      Серебро
      На форуме с: 20.12.2009 Сообщения: 423
      Если ты просто хочешь быть уверенным, правильный твой расчет или нет - сделай его несколькими разными способами. Если все варианты имеют один результат - значит твой расчет с С(х,у) правильный.

      Например пункты 2 и 3 можно посчитать без С(х,у) следующим образом:

      Вероятность, что на флопе не выйдет карта к сету будет 48/50*47/49*46/48=0.88245, а значит суммарно все сеты, фуллхаусы и каре на флопе будут составлять 1-0.88245=0.11755 случаев.

      Сет может выпасть в одной из трех карт флопа, значит умножаем шансы выпадения сета на одном месте на три и домножаем на отсутствие каре и фуллхауса: 3*2/50*48/49*44/48=0.107755

      Для каре требуется две карты от флопа, разместить эти карты на флопе можно тремя разными способами, по такой же схеме это будет: 3*2/50*1/49=0.00245

      Фуллхаус тоже будет стартовать от предварительного попадания в сет, поэтому его вероятность будет: 3*2/50*48/49*3/48=0.007347

      Проверяем, суммарно 0.107755+0.00245+0.007347=0.11755.

      А в чем ты видишь для себя практическую выгоду от выискивания ошибок в чужих формулах? Иногда чужие ошибки вообще никакой логикой не обьясняются, что-то перемкнуло в голове и все, соединил теплое с мягким и поленился проверить результат. Как тут разгадаешь логику? А бывает даже просто банальная очепятка.

      Гораздо полезнее свои собственные формулы проверять, разбирать, что в них правильно, а что нет, и почему именно. Но в первую очередь проверять, дают ли они заведемо истинный результат или не дают.
    • CatalystKh
      CatalystKh
      Серебро
      На форуме с: 20.12.2009 Сообщения: 423
      Точно так же и 3*6/50*44/49*40/48=0.2694.
    • Nik1952
      Nik1952
      Модератор
      Модератор
      На форуме с: 15.06.2009 Сообщения: 4.259
      Оригинал пользователя CatalystKh
      Точно так же и 3*6/50*44/49*40/48=0.2694.
      Откуда взялась тройка в качестве первого множителя?
      И я предложил сперва разобраться с 1-м примером.
      Я, когда пишу, то объясняю каждый множитель. Тарас, давай также по приведенной формуле.
    • CatalystKh
      CatalystKh
      Серебро
      На форуме с: 20.12.2009 Сообщения: 423
      По условию нам надо попасть сначала в топ пару (6/50), а потом еще дополнительно не попасть в допер или трипс следующей картой (но уже любой из двух), а потом дополнительно не попасть и третьей картой тоже ни в трипс ни в допер.

      Таким образом 6/50*44/49*40/48 является вероятность всей нужной нам комбинации из трех карт на флопе.

      Но начать с топ пары мы можем тремя разными способами, с трех разных карт на флопе, поэтому взялась еще тройка в качестве первого множителя, как и в примерах в предыдущем сообщении.
    • Karakulya
      Karakulya
      Бронза
      На форуме с: 09.02.2013 Сообщения: 5
      Оригинал пользователя CatalystKh
      Если ты просто хочешь быть уверенным, правильный твой расчет или нет - сделай его несколькими разными способами. Если все варианты имеют один результат - значит твой расчет с С(х,у) правильный.

      Например пункты 2 и 3 можно посчитать без С(х,у) следующим образом:

      ...

      А в чем ты видишь для себя практическую выгоду от выискивания ошибок в чужих формулах? Иногда чужие ошибки вообще никакой логикой не обьясняются, что-то перемкнуло в голове и все, соединил теплое с мягким и поленился проверить результат. Как тут разгадаешь логику? А бывает даже просто банальная очепятка.

      Гораздо полезнее свои собственные формулы проверять, разбирать, что в них правильно, а что нет, и почему именно. Но в первую очередь проверять, дают ли они заведемо истинный результат или не дают.
      Меня интересует именно составление формулы через С(х,у) как для общего развития, так и для проверки.

      Оригинал пользователя Nik1952
      Хотелось бы видеть вопросы по одному. Не надо их накидывать пачками. Полезно в одном досконально разобраться сперва.
      Поэтому начнем с 1.
      У нас две карты , допустим А и К. В колоде осталось 6 тузов и королей.
      Значит имеем 6 вариантов. Давай теперь выберем ранги 2-х оставшихся карт. Рангов 11.
      Поэтому С(2,11) = 55 способов. Имеем по 4 карты каждого ранга. Всего способов 6*55*4*4 = 5280. Вероятность = 5280/19600 = 26.94%
      Разберись в рассуждениях выше, спроси, если не понятно что-то. Если все понятно, то попробуй написать аналогично про 2.
      Спасибо, с этим разобрался. Я накидал 3 вопроса, потому что они противоречили друг другу по результатам. Оказывается, я просто накосячил с сокращениями)
      По сути весь мой вопрос сводится к двум следующим формулам по 1 примеру:


      Почему неверна формула 1.4?

      Оригинал пользователя Drak1422
      ...
      Общая суть в разнице между одновременностью связанных событий или последовательностью.
      ...
      В твоей же формуле ты одновременно выбираешь 2 достоинства, а число их возможных выпадений в 2 раза меньше, чем последовательных.
      ...

      Поэтому, верная формула выглядит так: С (3;1)*С (11;1)*С (4;1)*С (10;1)*С (4;1)/19600 или 3*44*40/19600. Как и в оригинале.

      ...
      Порядок важен там, где предыдущее действие меняет вероятность последующего.
      ...
    • Drak1422
      Drak1422
      Бронза
      На форуме с: 02.04.2016 Сообщения: 702
      Если это по той же задаче, которую комментировал я, то потому, что одно из значений равно 6-ти вместо 3-х.
      Ты смешал способы расчета, шестёрку взял из формул Ника/Каталиста, остальное — из моей/оригинала.
      Или С (3;1)*С (11;1)*С (4;1)*С (10;1)*С (4;1)/С (50;3) или С (6;1)*С (11;2)*С (4;1)*С (4;1)/С (50;3). Выбирай.

      Сократим обе части на одинаковые значения и увидим, что С (3;1)*С (11;1)*С (10;1) тождественно С (6;1)*С (11;2). Последняя двойка даёт знаменатель равный двум, а стало быть, для тождественности формул, для компенсации, нужно числитель умножить на 2. Основание? Логические умозаключения на основе условий задачи и метода расчета и составления формулы. Если делать верно — можно хоть так хоть так. Лишь бы было верно.

      А пока ты не знаешь, как определить, верно ты составил формулу или нет, проверяй перебором. Умножение проверяется сложением, так? :)

      Но если ты решаешь задачи, ответ на которые у тебя уже есть, как и пример верной формулы: сверяй "показания", чтоб можно было обойтись своими силами. Я бы, на твоём месте, зная, что там кругом только умножение/деление взял бы свой ответ 53,88 и поделил на 26,94 и получил бы рррррррррррррровно 2. Уже можно попробовать найти ошибку/опечатку самостоятельно, зная что ищешь отклонение ровно в 2 раза.
    • Nik1952
      Nik1952
      Модератор
      Модератор
      На форуме с: 15.06.2009 Сообщения: 4.259
      Но если ты решаешь задачи, ответ на которые у тебя уже есть, как и пример верной формулы: сверяй "показания", чтоб можно было обойтись своими силами. Я бы, на твоём месте, зная, что там кругом только умножение/деление взял бы свой ответ 53,88 и поделил на 26,94 и получил бы рррррррррррррровно 2. Уже можно попробовать найти ошибку/опечатку самостоятельно, зная что ищешь отклонение ровно в 2 раза.
      Karakulya, вот тебе отличная подсказка как найти ошибку.
      Почему неверна формула 1.4?
      Бери свою формулу и рассказывай про каждый сомножитель, что он у тебя обозначает. Мы же не знаем ход твоих мыслей.

      Кстати, про ход мыслей небольшой анекдотик со школы еще.
      Приходит Марь Иванна (учитель литературы) в класс и говорит:
      "Дети, сегодня будет урок по новой ультра современной методике. Вы мне будете задавать вопросы, а я буду отвечать. И я буду ставить оценку за вопрос и за ход ваших мыслей. Кто первый? Машенька, ты, отвечай!"
      Маша - Марь Иванна, кто великий русский поэт на букву П?
      МИ - П, П, Па... Так, Машенька, говори.
      Маша - Пушкин!
      МИ - молодец, ход твоих мыслей мне понравился. Отлично! Кто следующий? Петя? Давай.
      Петя - поэт революции на букву М. Кто это?
      МИ - Ммм, Му... Говори Петя. Я что-то не могу выбрать. Я же много знаю их, поэтов.
      Петя - Маяковский! Отлично, ход твоих мыслей мне понравился! Вовочка? Ты? Не ожидала. Ну, давай, попробуй.
      Вовочка - великий иностранный писатель на букву Х. Кто это?
      МИ - Ху..., Ху... Ах ты хулиган! Выйди вон из класса! Кол тебе! И по поведению тоже!
      Вовочка, выходя из класса, - Вообще то это
      Хэмингуэй.

      Но ход Ваших мыслей мне понравился!!!
      -----------------------------------------------------
    • Karakulya
      Karakulya
      Бронза
      На форуме с: 09.02.2013 Сообщения: 5

      Почему неверна формула 1.4?
      Бери свою формулу и рассказывай про каждый сомножитель, что он у тебя обозначает. Мы же не знаем ход твоих мыслей.
      У нас 2 карты (Например - АК)
      1. Берем одну карту, совпадающую с любой из карманных. 6 вариантов. Например А.
      2. Вторая карта выбирается из любого ранга, несовпадающего с карманными - 11 вариантов ранга. Любая из 4 мастей. (Или 1 из 44 вариантов)
      Например - Q.
      3. Третья карта выбирается из любого ранга, несовпадающего с карманными и второй картой - 10 вариантов ранга. Любая из 4 мастей. (Или 1 из 40 вариантов)
      Например - J.

      Как я понял из объяснений, здесь учтён порядок выпадения второй и третьей карты.
      А так как порядок нам не важен, варианты "AQ J" и "A JQ" равны, то всех возможных вариантов получится ровно в 2 раза меньше.
      Надеюсь так.
      А куда делся вариант "QA J" ?
    • fammuz
      fammuz
      Платина
      На форуме с: 18.05.2013 Сообщения: 4.083
      Как я понял из объяснений, здесь учтён порядок выпадения второй и третьей карты.
      А так как порядок нам не важен, варианты "AQ J" и "A JQ" равны, то всех возможных вариантов получится ровно в 2 раза меньше.
      Надеюсь так.
      А куда делся вариант "QA J" ?
      В общем,я как юный математик,только вкушающий прелести "Конкретной математики" Кнута и жаждущий найти время догнаться Колмогоровым, выскажусь весьма в общих чертах.тк время позднее и лень за бумажкой лезть.
      Дело в том,что местонахождение третьей карты(А) совершенно не важно,тк она совпадает с одной из карманных,а две другие не совпадают с карманными ,и ,след с ней тоже.
      Те , где бы не находилась карта А ,у остальных (Q и J) , два способа расположиться относительно друг друга,где бы ни была А,вероятность выпадения которой мы учли.
    • Nik1952
      Nik1952
      Модератор
      Модератор
      На форуме с: 15.06.2009 Сообщения: 4.259
      А так как порядок нам не важен, варианты "AQ J" и "A JQ" равны, то всех возможных вариантов получится ровно в 2 раза меньше.
      Надеюсь так.
      Вот теперь правильно.
      А куда делся вариант "QA J" ?
      А вот это объяснил fammuz.
      Чтобы не путаться с делениями, я применил С(2,11) - выбор 2-х рангов не совпадающих карт с нашими.
      Поэтому рекомендую оперировать числами С. Например, у нас 20 человек. Надо выбрать 2-х.
      1) Выбрать 1-го 20 способов, 2-го 19. Так как порядок не важен, то делим на 2. Итого 20*19/2 = 190.
      2) А лучше просто написать С(2,20) = 190. То есть, числа С "автоматизируют" процесс мышления.

      В покере у нас часто фигурируют разные выборы из колоды карт. Поэтому числа С облегчают расчеты.
    • CatalystKh
      CatalystKh
      Серебро
      На форуме с: 20.12.2009 Сообщения: 423
      Поддерживаю про вычисления через С(х,у) - важность этого способа в защите себя от ошибок очень большая, без С(х,у) шанс избежать ошибок в сложных расчетах падает неимоверно сильно.

      Ведь в сложных расчетах в одном месте надо "делить на 2", а в другом месте "делить на 3", а есть еще несколько разных мест, где надо делить на что-то другое. А потом может соединится одно число, которое делили на три, с другим числом, которое делили на 5, а вместе это что теперь, делить на 15 надо? Или не надо? Или насколько? Ведь у новой суммы может быть какой угодно новый делитель. Пока везде это все отследишь мозг через уши вытечет. В лучшем случае в пустую потерянное время. А лучший случай будет нечасто.

      Единственное когда надо считать без С(х,у), это когда ты хочешь на всякий случай проверить свои расчеты, что бы быть уже уверенным, что хотя бы нет "очепятки", даже если остается возможность, что сама логика (алгоритм) расчетов может оказаться не верной.

      Простейший пример. Если кидать три шестигранных кубика, то дубль из двух чисел может выпасть 3 разными способами (кубики 1+2, 1+3 или 2+3). Тогда было бы "логично" считать, что триплет выпадет в 5 раз реже, потому что третий кубик лишь 1 раз из 6 повернется тем же самым числом, что и предыдущие два кубика. А на самом деле триплет будет в 15 раз реже, чем дубль, а не в 5 раз реже.

      И это только простейший пример, где есть шанс догадаться заранее, предусмотреть. А в более сложных расчетах наверняка где-то упустишь хоть что-нибудь, крайне затруднительно до всего заранее догадаться и все предусмотреть, мы ж не ясновидящие.
    • Drak1422
      Drak1422
      Бронза
      На форуме с: 02.04.2016 Сообщения: 702
      Оригинал пользователя CatalystKh
      потому что третий кубик лишь 1 раз из 6 повернется тем же самым числом, что и предыдущие два кубика.
      А, по-моему, два) Нам нужны 1 и 2 из 6 чисел = 2/6 = 1/3.
      Но становится ещё круче, тогда "логично", что триплет всего в 3 раза реже дубля.

      А вообще хороший пример важности учёта перестановок, порядков и пр.
    • CatalystKh
      CatalystKh
      Серебро
      На форуме с: 20.12.2009 Сообщения: 423
      Оригинал пользователя Drak1422
      А, по-моему, два) Нам нужны 1 и 2 из 6 чисел = 2/6 = 1/3.
      Но становится ещё круче, тогда "логично", что триплет всего в 3 раза реже дубля.
      Если дуплет уже выпал, то кидая третий (последний) кубик мы можем усилить дуплет до триплета лишь 1 числом из 6, никак не 2 из 6.

      Кроме того, в твоем варианте триплет должен был бы случаться не в 3 раза реже, а в 2 раза реже, потому что (6-2) / 2 = 2.
    • Drak1422
      Drak1422
      Бронза
      На форуме с: 02.04.2016 Сообщения: 702
      А, блин, а я читаю:
      кубики 1+2, 1+3 или 2+3
      и мозг думает "числа 1 и 2, 1 и 3..." А какой же это дубль)
    • Сообщение удалено